Сумма Sn первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Содержание
Формула суммы геометрической прогрессии
Сумма Sn первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
| Случай | Формула |
| При q ≠ 1 | Sn = b₁(1 - qn)/(1 - q) |
| При q = 1 | Sn = n·b₁ |
где:
- b₁ - первый член прогрессии
- q - знаменатель прогрессии
- n - количество суммируемых членов
Пример вычисления суммы
Для прогрессии 2, 4, 8, 16, 32 (b₁=2, q=2, n=5):
- Определяем параметры: b₁ = 2, q = 2, n = 5
- Применяем формулу: S₅ = 2(1 - 2⁵)/(1 - 2)
- Вычисляем: S₅ = 2(1 - 32)/(-1) = 2(-31)/(-1) = 62
- Проверка: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Для бесконечно убывающей прогрессии (|q| < 1) сумма вычисляется по формуле:
S = b₁/(1 - q)
Пример:
Для прогрессии 8, 4, 2, 1, 0.5,... (b₁=8, q=0.5):
- S = 8/(1 - 0.5) = 8/0.5 = 16
Графическая интерпретация
| Тип прогрессии | Поведение суммы |
| q > 1 | Сумма неограниченно возрастает |
| 0 < q < 1 | Сумма стремится к конечному пределу |
| -1 < q < 0 | Сумма колеблется, сходясь к пределу |
| q ≤ -1 или q ≥ 1 | Сумма расходится (для бесконечной прогрессии) |
Практическое применение
- Финансовые расчеты (сложные проценты)
- Физические процессы (радиоактивный распад)
- Биологические модели (рост популяции)
- Компьютерные алгоритмы
Историческая справка
Формулы суммы геометрической прогрессии были известны еще в древности. Евклид в своих "Началах" (III век до н.э.) приводил правило для суммы геометрической прогрессии в геометрической форме.
Дополнительные свойства
- Сумма квадратов членов геометрической прогрессии также образует геометрическую прогрессию
- Логарифмы членов образуют арифметическую прогрессию
- Произведение первых n членов вычисляется по формуле: Pn = (b₁·bn)n/2
